nまでの整数を二つの組に分けて合計した結果が同じ時のnについて見つけた法則

私以外、誰も楽しくない話題ですが・・・

前回のエントリで、

出力された値を眺めていたら、どうも法則があることが分かった。
3は例外として、それ以降の値については、常に前回値×6-(前々回値-2)となるっぽい。
多分、知っている人には当たり前の事なんだろうなと思いつつ。

という法則を見つけて

$N\tiny n$ を任意の整数とし
$N\tiny 0\large =-1$
$N\tiny 1\large =0$
としたとき、
$N\tiny n+1\large=N\tiny n \large 6-(N\tiny n-1 \large -2)$
となる。

としていたが、どうも、会社の人に教えてもらったペル数列という数列の偶数番目の時の総和が同じだと言うこともわかった。
ペル数列というのは、

ペル数（ぺるすう、Pell number）は自然数で、n番目のペル数を Pn とおいて以下の式で定義される数列にある項のことである。
$P\tiny 1\large =1$
$P\tiny 2\large =2$
$P\tiny n\large=P\tiny n-1 \large 2 + P\tiny n-2$

というものらしい。
で、数列自体は
1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741
となる。
nが偶数の時の総和が
1+2=3
1+2+5+12=20
1+2+5+12+29+70=119

といった具合に、このパズルの正解と同じになる。

とはいえ、なんでそうなのかをコンピュータによる実証以外に証明する事ができないので、ドラクエで言うと、まだ冒険の書を作ったところ。
いや、冒険の書すら作れていないのか。
月曜日には飽きていそうだけど、高校を普通科か理数科にしておけば良かったな。